Conceptos del Curso

AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS

OBJETIVOS Profesor: Jesús Unturbe

Capacitar y desarrollar habilidades en alumnos con excelencia en el área de matemáticas para la resolución de problemas complejos, considerando muy diversos tipos de dificultad.

Lo esencial de esta preparación radica en la formalización abstracta en el planteamiento de problemas prácticos. Para ello se recurrirá generalmente a la formalización matemática.

No obstante, hemos de estar advertidos de una serie de errores lógicos susceptibles de boicotear este proceso de abstracción, distorsionando completamente el problema.

De esta manera, además de preparar al alumno en mejorar el uso de su aparato matemático, lo cual incluirá no sólo una preparación para la resolución de problemas formales per se (la eventual participación en olimpiadas matemáticas), sino incidir también en los procesos mismos de formalización y abstracción previos, requeridos para plantear problemas prácticos complejos, para los que desarrollaremos habilidades de observación y de pensamiento divergente.

Finalmente, todo este proceso habrá de realizarse en un contexto lúdico pero también exigente, en el que se potenciará y evaluará tanto el esfuerzo individual como el cooperador.

En síntesis, aunque el cuerpo de la asignatura consiste en el planteamiento y resolución de problemas de diversa dificultad, estos siempre han de ser adecuadamente contextualizados.

CONTENIDOS

1. Problemas y acertijos para distinguir la forma de pensamiento convergente de la divergente.
   1. Acertijos de lógica que juegan con la verdad y la mentira
   2. Acertijos de observación de enunciados.
2. Planteamiento de problemas ingeniosos de matemáticas. Preparación para el Concurso de Primavera. La teoría de la relatividad.
3. El método científico. Falsabilidad en Carl Popper.
4. El razonamiento deductivo: La lógica clásica. El silogismo. Los sorites.
5. El razonamiento inductivo y la necesidad de algo más: el razonamiento analógico. Feyerabend y el contexto de descubrimiento.
6. Las falacias del razonamiento. Las paradojas.
7. El intento de crear un cuerpo deductivo para estos razonamientos divergentes: otras lógicas.
8. Elementos esenciales del razonamiento creativo: La negación de un axioma. La belleza frente a la inducción, incluso frente a los hechos establecidos. La economía de ideas o la navaja de Ockham. El experimento mental, la analogía y la serendipia.
9. El proceso creativo: Preparación, incubación, iluminación y resolución.
10. Estudio de casos: ¿Porqué Poincaré no descubrió la relatividad? Miedo a equivocarse y al fracaso. Procrastinación.
11. Consejos y opiniones de los genios sobre la creatividad y la búsqueda de la verdad.
12. Problemas filosóficos: La paradoja del gato de Schrödinger.
13. La síntesis frente al análisis. Niels Bohr y la complementaridad.
14. Epílogo: ¿Necesitamos otro Einstein?

METODOLOGÍA

La hora de clase se distribuye de la siguiente forma:

Una explicación general del tema que permita contextualizar un tipo de ejercicios.

Los alumnos tienen asignadas unas tareas por grupos, de manera que, aparte de reflexionar sobre lo expuesto, cada grupo irá tomando el aspecto que crea conveniente para su trabajo. Habrán de hacer preguntas pertinentes para llevar el tema a su terreno.

Se proponen problemas o acertijos. Se resuelven por grupos. Sacamos conclusiones sobre el modo de resolverlos y extraemos reflexiones e incluso dilemas que planteamos en común.

PROGRAMACIÓN

Aproximadamente, cada mes se hará una puesta en común sobre el trabajo realizado. Cada dos meses, se reconsiderarán las tareas asignadas.

El primer trimestre se centrará en la lógica (clásica y alternativa), el método científico, el planteamiento de problemas lógicos y matemáticos de dificultad creciente. Análisis de falacias.

El segundo trimestre se centrará en el proceso creativo, el descubrimiento científico, los impedimentos psicológicos.

El tercer trimestre se centrará en los problemas filosóficos abiertos en la ciencia, tales como la interpretación de la Mecánica Cuántica.